时间：2026-01-14 08:10:55
余式定理 (Remainder Theorem) 是代数中一个非常基础且重要的定理，它提供了一种快速求多项式除法余数的方法，而无需进行长除法。
以下是关于余式定理的详细解释，包括定义、例子、推论以及它与因式定理的关系。
1. 余式定理的定义
设 f(x) 是一个多项式，a 是一个常数。
当 f(x) 除以一次多项式 (x−a) 时，其余数 R 等于 f(a)。
用数学公式表示为：f(x)=(x−a)Q(x)+R其中 Q(x) 是商式，R 是余数（常数）。如果令 x=a，则 (a−a)Q(a)=0，所以 R=f(a)。
2. 举个例子
问题： 求多项式 f(x)=x3−4x2+2x−5 除以 (x−3) 的余数。
传统方法（长除法）：你需要用 x3−4x2+2x−5 除以 x−3，过程比较繁琐。
余式定理方法：根据定理，除数是 (x−3)，即 a=3。我们只需要将 x=3 代入多项式计算即可：
f(3)=(3)3−4(3)2+2(3)−5=27−4(9)+6−5=27−36+6−5=−8结论： 余数是 -8。
3. 重要推论（当除数为 x+a 时）
如果除数是 (x+a) 的形式，我们可以将其改写为 (x−(−a))。
此时，余数 R=f(−a)。
例子：求 f(x)=2x2−5x+1 除以 (x+2) 的余数。这里 a=−2。
f(−2)=2(−2)2−5(−2)+1=2(4)+10+1=8+10+1=19余数是 19。
4. 余式定理的推广（除式为 ax+b）
如果除式是更高次或系数不为 1 的一次式，定理依然适用，但需要调整代入的值。
当 f(x) 除以 (mx−n) 时，余数 R=f(mn)。
例子：求 f(x)=x2−3x+4 除以 (2x−1) 的余数。令 2x−1=0⟹x=21。R=f(21)=(21)2−3(21)+4=41−23+4=411
5. 余式定理与因式定理的关系
因式定理 (Factor Theorem) 其实是余式定理的一个特例。
余式定理： 除以 (x−a)，余数是 f(a)。
因式定理： 如果 f(a)=0，那么余数为 0。
如果余数为 0，说明整除。
所以，(x−a) 是 f(x) 的因式，当且仅当 f(a)=0。
这是因式分解和求多项式根（零点）的核心依据。
6. 为什么要学余式定理？
速度快： 避免了复杂的多项式长除法。
求系数： 题目常给出 “除以... 余...” 的条件，利用余式定理可以建立方程，反求多项式中的未知系数（如 k）。
判断整除： 结合因式定理，快速判断某个式子是否为多项式的因子。
总结
遇到 “多项式 f(x) 除以 (x−a)” 求余数的问题，直接把 a 代进去算 f(a) 就是答案。
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